Math Financier '' Exercices corrigés "

La Valeur Acquise :

Exercie1 : Quelle est la valeur acquise par un capital de 2 000 000 placé à un intérêt composé au taux de 5% pendant 3 ans. ?

Corrigé1 :   D’après la formule on a C_n = C (1+i) ⁿ  si C = 2 000 000 ; i = 5/ 100 et   n = 3 alors C_n = 2 000 000 (1,05) ³ soit C_n =2 315 250

Exercice 2 : Quel capital doit –on placé au taux de 6% pour disposer de 796 924 à la fin de la 8^eme année ?

Corrigé 2 : Le montant dont – il dispose à la fin de la 8^eme année représente la valeur acquise. Si on doit appliquer la formule on  C_n = C (1+i) ⁿ  avec Cn =796 924

I= 6 / 100 et n= 8. Alors on a C = Cn / (1+i) ⁿ soit C = 796 924 / (1,06)⁸          ou               C= 796 924 (1,06^{) - 8} soit C = 500 000

Exercice 3 : A quel taux doit –on placé un capital de 800 000 pour obtenir à la fin de la 5eme une valeur acquise de 1 148 503,461 ?

Corrigé 3 : posons C_n = C (1+i) ⁿ  alors on a (1+i) ⁿ  = C_n / C soit (1+i) ⁿ = 1,435629

Donc on a   i =   - 1 soit  i = 0,075 soit   t = 7,5%

Exercice 4 : Pendant combien de temps un capital donné placé au taux de 8% peut-il s’accroitre de 25% de sa valeur.

Corrigé 4 : si le capital doit s’accroitre de sa valeur de 25% on aura  C(1,25)

Or C_n = C(1,08) ⁿ si on doit poser une égalité entre les deux relations on aura

C(1,08) ⁿ = C(1,25) soit (1,08) ⁿ = 1,25. En appliquant la fonction log on a

n log (1,08) = log (1,25) soit  n = log (1,25) / log (1,08) soit n =2ans 10 mois 24 jrs

La Valeur Actuel :

Exercice :

 Une personne désire disposer  une somme de 540 242,75 à la fin dans 15 ans. Pour ce faire il place un capital C à un taux semestriel de 5%. La capitalisation des intérêts étant semestrielle :

1.     Déterminer le capital C placé

2.     Le capital trouvé est placé à un taux semestriel de 5% pendant 15 ans. La capitalisation des intérêts étant semestrielle 

2.1.         Déterminer la valeur acquise. Que remarquez-vous ?

2.2.         Déterminer les intérêts produit au cour de la 8^eme et 12 ^eme périodes.

2.3.         Déterminer l’intérêt global de ce placement.

Corrigé :

1.     Déterminons le capital C placé

C représente dans ce cas la valeur actuelle et équivaut à C₀. Si on doit appliquer la formule de la valeur actuelle on a C₀ = C (1+i)^-n dans ce cas le C de la formule est égal à 540 242,75 le taux t = 5%. La capitalisation étant semestrielle on  n = 15 x 2 soit n = 30 semestres. Ceci dit C₀ = 540 242,75 (1,05)  ^{- 30} soit C₀ = 125 000 le capital placé est égal à 125 000

2.     

2.1.        Déterminons la valeur acquise

Soit C_n cette valeur acquise. On a C_n = 125 000(1,05) ³⁰  soit            C_n = 540 242,75. Nous remarquons que Cn est égal à la somme dont voulait disposer la personne dans 15 ans.

2.2.        Déterminons l’intérêt produit au cour :

·       De la 8 ^eme période

           Soit  I₈ cet intérêt. I₈ = C (1+i) ^8-1 i soit I₈ = 125 000(1,05)⁷ x 0,05 soit

           I₈ = 8794,375 ou soit I₈ = C₈ – C₇ soit I₈ = 125000[(1,05)⁸ – (1,05)⁷] soit                    

           I₈ = 8794,375.

·       De la 12 ^eme période

          Soit  I₁₂ cet intérêt. I₁₂ = C (1+i) ^12-1 i soit I₈ = 125 000(1,05)¹¹ x 0,05 soit

           I₁₂ =10689,61875 ou soit I₁₂ = C₁₂ – C₁₁ soit I₈=125000[(1,05)¹² – (1,05)¹¹]

          Soit  I₁₂ =10689,61875.    

2.3.        Déterminons l’intérêt global de ce placement

·       1^ère méthode

I = Cn – C soit I = 540 242, 75 – 125000 soit I = 415242,75

·       2^ème méthode

               I = Cn – C soit I = C (1+i) ³⁰ – C soit I = C [(1+i) ³⁰ – 1] Donc on a

               I = 125000[(1, 05) ³⁰ – 1] soit I = 415242,75