I
–
Notion
Lorsqu’on a un capital à placer dans une institution
financière deux possibilités peuvent s’offrir :
·
Soit le capital
est retiré augmenté des intérêts calculés une seule fois à la fin de la
dernière période (intérêts simples) ;
·
Soit le capital
est retiré augmenté des intérêts calculés de façon successive à la fin de
chaque période.
Les intérêts calculés à la fin de chaque période dans ce 2eme cas sont
incorporés au capital de début de période pour être replacé pour le compte de
la période suivante. Ainsi les valeurs acquises obtenues à la fin de chaque
période sont aussitôt replacé pour générer des intérêts pour le compte de la
période suivante. Les intérêts contenus dans ces valeurs acquises génèrent à
leur tour d’autres intérêts : on parle de Capitalisation
des Intérêts.
II
– Généralisation de la notion : formule fondamentale
Soit un capital C
placé au taux i (taux pour un
franc : i = t /100) pendant une période on a :
Période
|
Capital
Début Période
|
Intérêts
|
Capital
Fin Période
|
1
2
3
k
n
|
C
C (1+i)
C (1+i) 2
C (1+i) k-1
C (1+i)n-1
|
Ci
C (1+i) i
C (1+i) 2 i
C (1+i) k-1 i
C (1+i)n-1 i
|
C+Ci = C (1+i)
C (1+i) + C (1+i) i = C(1+i) 2
C (1+i) 2 + C (1+i) 2 i =
C(1+i) 3
C (1+i) k-1 + C (1+i) k-1 i = C
(1+i) k
C (1+i)n-1 + C (1+i)n-1 I = C
(1+i)n
|
La formule fondamentale en intérêt composé de la
valeur acquise est : Cn =C (1+i)n
Remarque :
Cn est la valeur acquise par le capital C placé au taux i pendant n
périodes.
·
L’expression
(1+i) n se lit dans la
table financière n°1
·
Contrairement
aux intérêts simples la formule fondamentale en intérêt composé débouche sur la
valeur acquise. Pour trouver donc l’intérêt il faut faire la différence entre
la valeur acquise et le capital placé. Soit I l’intérêt
I =
Cn – C soit I = C
(1+i) n – C Donc
on a I = C [ (1+i) – 1 ]
L’intérêt
au cour d’une période p quelconque est Ip
= C (1+i) p-1
i
·
Les valeurs
acquises obtenues à la fin de caque période de même que les intérêts contenus
dans ces valeurs acquises sont en progression géométrique de raison 1+i
Application :
Exercie1 : Quelle est la valeur acquise par un capital de 2 000 000 placé à un intérêt composé au taux de 5% pendant 3 ans. ?
Corrigé1 : D’après la formule on a Cn = C
(1+i) n si C = 2 000 000 ; i = 5/
100 et n = 3 alors Cn =
2 000 000 (1,05) 3 soit Cn =2 315 250
Exercice
2 :
Quel capital doit –on placé au taux de 6% pour disposer de 796 924 à la
fin de la 8eme année ?
Corrigé 2 : Le montant dont
– il dispose à la fin de la 8eme année représente la valeur acquise.
Si on doit appliquer la formule on Cn
= C (1+i) n avec Cn =796 924
I=
6 / 100 et n= 8. Alors on a C = Cn / (1+i)
n soit C = 796 924 /
(1,06)8 ou C= 796 924 (1,06) - 8 soit C = 500
000
Exercice
3 :
A quel taux doit –on placé un capital de 800 000 pour obtenir à la fin de
la 5eme une valeur acquise de 1 148 503,461 ?
Corrigé
3 :
posons Cn = C (1+i) n alors on a (1+i) n = Cn / C soit (1+i) n
= 1,435629
Donc on a i =
- 1 soit
i = 0,075 soit t = 7,5%
Remarque:
Le capital de 500 000 obtenu dans le deuxième exercice n’est rien d’autre
que la valeur actuelle de 796 924. Pour obtenir la valeur actuelle il
suffit d’actualiser la valeur acquise. Cette consiste à repousser la valeur
acquise à l’origine. Ceci nous pousse à déduire la valeur actuelle d’un capital
placé à un taux i qui nommé C0 = C (1+i)-n.
Cette formule représente la formule générale de la valeur actuelle en intérêt
composé. L’expression (1+i) –n se lit dans la table financière N°2
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